Más de alguna vez hemos escuchado la palabra “fractal”, y la asociamos a bonitas imágenes. Dicen que son mágicos (y algo tienen de eso, ya veremos), que son místicos (mmm, eso ya depende de quien lea), y que son muy muy especiales (eso sí que es cierto).

Los fractales son uno de los descubrimientos matemáticos más populares y ubicuos del siglo XX. Están en la naturaleza, y tienen aplicaciones científicas y tecnológicas insospechadas. Pues sí: en la medicina, en geografía, en bioquímica… ¡incluso en arqueología!. Y además, son muy lindos. Veamos que hay detrás de esta "infinita" repetición de cuadros en el mundo que nos rodea.

¿Qué son los fractales?

Aunque el concepto general se arrastra desde la época de Leibnitz, y fue tocado por grandes matemáticos como Georg Cantor (el de las matemáticas transfinitas), la idea fue sistematizada por el matemático Benoît Mandelbrot, quien además acuñó el término fractal en 1975.

El nombre proviene de la palabra latina “fractus”, que significa “fracturado”. Esto, porque un fractal a primera vista pareciera ser, efectivamente, una figura basada en quebrar figuras geométricas más simples, y porque posee dimensiones que no son enteras, sino que fraccionarias (eso que suena tan extraterrestre, lo veremos un poquito más adelante).

Aparte del asunto de las dimensiones, un fractal es un objeto geométrico, específicamente una curva, que tiene al menos dos características más desde el punto de vista matemático:

• Tiene autosimilitud. ¿Cómo dijo? O sea, no se puede distinguir si lo miran de lejos, o de cerca, porque si hacen “zoom” sobre una parte pequeña, se ve igual que una parte grande del fractal. Creo que una imagen vale más que mil palabras. Pido disculpas, pero es algo como esto:

^{Supongo que así se aclara mejor la idea. Fuente: coed.com}

• Se trata de una línea continua, pero donde es imposible dibujar una tangente, porque tiene “pinchitos” o “puntitas” que impiden hacerlo. Recordemos que una tangente, es una línea única, que toca en un solo punto a una curva. Cuando hay una "punta", pueden haber muchas líneas que pasen por ese punto, como un balancín que puede estar en muchos ángulos. O sea, no existe esa línea única. En términos matemáticos, se dice que es “no diferenciable”, o sea, no se puede dibujar una derivada, por culpa de los pinchitos.  

Sobre el resto de las características, los matemáticos aún no se ponen bien de acuerdo, pero si cumple con las mencionadas, se trataría de un fractal.

¿Cómo se construye un fractal?

Como lo que les acabamos de contar, es del tipo de cosas a las que uno dice “sí, sí, claro”, pero cuando lo piensa se da cuenta que no entendió nada, les mostraremos cómo se construye un fractal, uno de los más simples. El llamado “copo de nieve de Koch”.

Partimos con un simple e inocente triángulo.

A ese triángulo, le agregamos otros triángulos en la mitad de cada lado.

A cada uno de los triángulos agregados, le ponemos triángulos más pequeñitos, en la mitad de cada uno de sus lados.

¡Y repetimos hasta el infinito y más alla!

Y si le hacemos zoom, se ve así:

Como ven, si nos acercamos, no podemos diferenciar cuando estamos “cerca” y cuando “lejos”.

El resto de los fractales se construye de una manera muy parecida: se fija una regla para la construcción de la imagen, y se repite infinitamente. Esto puede incluir giros en ángulos determinados, repetición del dibujo a escalas que van variando, etc.

La curva del Dragón de Heighway, que tiene giros de 45 grados hacia la derecha y luego hacia la izquierda. Solkoll.

Los fractales y el curioso asunto de sus dimensiones

Casi todos los fractales cumplen con la siguiente regla: su dimensión fractal, es superior a su dimensión topológica. ¿Qué? A ver, la dimensión topológica, es la que conocemos todos: la línea tiene 1 dimensión, los dibujos en el plano, tienen 2 dimensiones (como el cuadrado, por ejemplo), y los objetos en relieve, tienen 3 dimensiones (como el cubo).

Hasta ahí, todo bien. Pero resulta que los fractales son curvas tan especiales, que no tienen exactamente 1 dimensión, como cualquier línea, no, no, no. Para entender esto mejor, veámoslo de la siguiente manera: si han mirado los fractales que hasta ahora hemos incluido en este artículo, se darán cuenta de que a pesar de ser líneas, tienden a “cubrir” el plano, como si fueran un mantel a crochet, de esos que tejían las abuelitas.

Y si lo miran con atención, al igual que el mantel de la abuelita, nos damos cuenta que tienen muchos “espacios” entremedio. O sea, cubren la superficie, pero no la “tapan” por completo. O sea, no se comportan totalmente como una línea común y silvestre, pero tampoco son una superficie en dos dimensiones, como un mantel de tela, por ejemplo. Así que su dimensión fractal (o dimensión de Hausdorff), es superior a su dimensión topológica, casi siempre. O sea, si se trata de una curva, su dimensión será superior a 1. Por ejemplo, el copo de nieve de Koch, que acabamos de ver, tiene una dimensión de 1,26 aproximadamente. Aquí, está la forma netamente matemática de ver ese asunto, por si tienen curiosidad.

Utilidad de los fractales

Todo esto se ve muy bien, ¿pero en qué me afecta eso?, dirán ustedes. Pues bien, estas figuras recursivas, o sea que se repiten infinitamente, tienen su gracia y su utilidad. Por ejemplo, cuando en LucasFilm empezaron a hacer animaciones por computador a fines de los años ‘70, no sabían cómo simular la forma y textura de las montañas. Pues bien, Loren Carpenter, de la división de animación digital (que luego se convertiría en Pixar) descubrió que podía representar esa textura, repitiendo triángulos de manera fractal, para luego cubrirlos con un color afín a la montaña que se quería representar (aquí, el resultado).

Por lo tanto, Pixar y Dreamworks le deben casi su existencia, a los fractales. Bueno, quizás no tanto... pero se habrían demorado mucho más en existir, de no haberse aplicado esa técnica, que facilitó el desarrollo completo de la tecnología CGI que siguió.

En computación, la técnica también sirve, por ejemplo, para la compresión de imágenes y video. Otras áreas donde aparecen fractales son en arqueología, donde los patrones que aparecen al analizar los hallazgos, son justamente fractales. En sismología también, se ha descubierto que valores como la frecuencia de sismos, y la intensidad de las réplicas, obedecen a patrones fractales. Y no sólo en la ciencia: se han desarrollado sistemas para crear música usando fractales. (Por ejemplo, Aural Fractals, que se puede descargar aquí). Asimismo, existen muchos sitios online, que permiten crear dibujos basados en fractales (Por ejemplo, éste o éste.)

Ejemplos en la naturaleza

La repetición de patrones es esencial en la naturaleza, en particular en los seres vivos. Ya partiendo por el mismo ADN, cuyo objetivo es repetirse a sí mismo, lo que permite prolongar en el tiempo la información que contiene.

Las estructuras biológicas, al crecer, generalmente van repitiendo patrones a escala cada vez menor, lo que constituye la base de un fractal. Es una estrategia sumamente útil, que economiza recursos, y además, muy bella. Existe este tipo de estructuras en los vasos sanguíneos, en las hojas, incluso parecieran estar ¡en el iris de nuestros ojos!

Y para que nos hagamos una idea del mundo de los fractales, cerramos con un ejemplo de música generada con fractales, seguida de una pequeña galería de fractales presentes en la naturaleza. ¡Que lo disfruten!

Autor: Abulic Monkey

Helecho. fdcomite

Concha de molusco. Feliciano Guimaraes

Suculenta. Garden State Hiker

Coliflor romana. Nicolas Raymond

¿Conocías los fractales? ¿Qué otras aplicaciones podrían tener?